极限是数学的一个重要概念。在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化 的量的极限。
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数列极限limit极限的思想数列极限的性质几个常用数列的极限数列极限存在的充分条件夹逼原理单调收敛定 理柯西收敛准则函数极限专业定义:函数的左右极限两个重要极限函数极限的运算法令线性运算 非 线性运算其余 数列极限limit 定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不管它多么小）， 总存在正整数N，使得当n>N时， |Xn - a|<ε 都成破，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为 lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）极限的思想 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、 极限理论(包含级数)为重要工具来研讨函数的一门学科。 所谓极限的思想，是指用极限概念剖析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的正常步骤可概 括为：对于被考察的未知量，先想法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限进程的成果就是所求的未知量 ；最后用极限计算来得到这结果。 极限思想是微积分的根本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的持续性、导数以及定积分等等都是借 助于极限来定义的。假如要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来 研究函数的一门学科”。 1.极限思想的产生与发展 （1）极限思想的由来. 与所有科学的思想方法一样，极限思维也是社会实际的产物。极限的思想能够追溯到古代，刘徽的割圆术就是 建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的 胆怯”，他们防止显明地“取极限”，而是借助于间接证法――归谬法来实现了有关的证明。 到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考核三角形重心的过程中改良了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，勇 敢地应用极限思想思考问题，废弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个适用概 念的方向”。 （2）极限思想的发展 极限思想的进一步发展是与微积分的建立严密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时代，生产力得到 极大的发展，出产和技巧中大批的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学冲破只研究常量的传统范畴， 而提供可能用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是增进极限发展、建立微积分的社会背景。 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因碰到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度 地接受了极限思想。牛顿用行程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的均匀速度，让Δ t无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以 极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前相 互靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观点也是树立在几何直观上的，因此他 无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描写：“如果当n无限增大时， an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。 这种描述性语言，人们轻易接收，现代一些初等的微积分读物中还常常采用这种定义。但是，这种定义没有定 量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。 正因为当时缺少严格的极限定义，微积分理论才受到人们的猜忌与攻击，例如，在瞬时速度概念中，毕竟Δt 是否即是零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包括着它的那些项去掉呢?这就是 数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的袭击最为剧烈，他说微积分的推导是“明显的 狡辩”。 贝克莱之所以激烈地攻打微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也因为当时的微积分缺乏坚固的实践基本， 连牛顿本人也无法解脱极限概念中的凌乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，岂但是数 学本身所需要的，而且有着认识论上的重粗心义。 （3）极限思想的完美 极限思想的完善与微积分的严厉化亲密接洽。在很长一段时光里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解 决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩大到变量，而人们对变量数学特有的规律还不非常清 晰；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏懂得；对有限和无限的对峙统一关系还不明确。这样，人们使用习 惯了的处置常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新须要，仅用旧的概念阐明不了这种“零”与“非零 ”互相转化的辩证关系。 到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明白地表现必需将极限作为微积分的基础概念，并且都 对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，如果第二个量比任意给定的值更 为濒临第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依附。事件也只能如 此，由于19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。 首先用极限概念给出导数准确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f（x）的导数定义为差商Δy／Δx 的极限f′（x），他强调指出f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的实质他仍 未说明白。 到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比拟完全地论述了极限概念及其理论，他在《分析教程 》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值 就叫做所有其他值的极限值，特殊地，当一个变量的数值（相对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量 成为无限小”。 柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就廓清了无穷小“似零非零”的含混认识，这就是说，在变化过程中 ，它的值可以长短零，但它变化的趋势是“零”，可以无限地接近于零。 柯西试图打消极限概念中的多少何直观，作出极限的明确定义，而后去完成牛顿的欲望。但柯西的叙述中还存 在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因而还保存着几何和物理的直观痕迹，不到达彻底周密 化的水平。 为了消除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分供给了严格的理论基础。 所谓 an＝A，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在天然数N，使切当n＞N时，不等式｜an－A｜＜ε恒成立” 。 这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、详细地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此 ，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中应用。在该定义中，波及到的仅仅是 数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的 直观。 家喻户晓，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世当前，运动进入了数学，人们有可能对 物理过程进举动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静 态――动态――静态”的螺旋式的演化，反映了数学发展的辩证规律。 2.极限思想的思维功效 极限思想在古代数学乃至物理学等学科中有着普遍的应用，这是由它本身固有的思维功能所决议的。极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立同一规律在数学范畴中的运用。借助极限思 想，人们可以从有限意识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从质变认识量变，从近似认识准确 。 无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无穷个数的和不是个别的代数跟，把它定义 为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。 “变”与“不变”反应了事物运动变化与绝对静止两种不同状况，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转 化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的刹时速度，用初等方法是无法解决的，艰苦在于速 度是变量。为此，人们先在小规模内用匀速取代变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是 借助于极限的思想方式，从“不变”来认识“变”的。 曲线形与直线形有着本质的差别，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终 于等同起来了”。擅长应用这种对立统一关系是处理数学识题的重要手腕之一。直线形的面积容易求得，求曲线形 的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形迫临圆，普通地，人们用小矩形的面积来迫近曲边梯 形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。 量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基 础法则之一，在数学研究工作中起侧重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的仍是内 接正多边形，是量变而不是质变；然而，一直地让边数加倍，经由无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面 积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。 近似与精确是对立统一关系，两者在必定条件下也可彼此转化，这种转化是数学利用于实际计算的重要窍门。 前面所讲到的“局部和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分辨是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度 ”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的 。 3．建立概念的极限思惟 极限的思想方法贯串于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的简直所有的概念都离不开极限。在几乎所有 的数学分析著述中，都是先先容函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积 分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,狭义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。 如： （1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量 时，函数值的增量 趋于零的极限。 （2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。 （3）函数 在 上的定积分的定义，是当宰割的细度趋于零时，积分和式 的极限。 （4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。 （5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。 4．解决问题的极限思想 极限思想方法是数学分析乃至全体高级数学必不可少的一种重要办法，也是数学分析与初等数学的本质差别之 处。数学分析之所以能解决许多初等数学无奈解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积 等问题），恰是因为它采取了极限的思想方法。 有时我们要确定某一个量，首先断定的不是这个量的自身而是它的近似值，而且所肯定的近似值也不仅仅是一 个而是一连串越来越精确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的正确值确定下来。这就是运 用了极限的思想方法。数列极限的性质 1.独一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的,
阿空加瓜山，且其子数列的极限与原数列的相等； 2.有界性：如果一个数列{xn}收敛（有极限），那么这个数列{xn}一定有界。但是，如果一个数列 有界，这个数列未必收敛。例如{xn}：1，-1，1，-1，……（-1）^n+1，……（就是有界，却是发散的） 3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a，且a>0（或a<0)，那么存在正整数N>0，当n>N时 ，都有xn>0(或xn<0)。 4.收敛数列与其子列间的关联：（通俗讲：改变数列的有限项，不转变数列的极限,
moja white mbt uk。）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是a。几个常用数列的极限 当n→∞ 时，有 an=c 极限为c an=1/n 极限为0 an=x^n （�x�小于1） 极限为0数列极限存在的充足条件夹逼原理 设有数列｛An｝，｛Bn｝和｛Cn｝，满意 An ≤ Bn ≤ Cn, n∈Z*，如果lim An = lim Cn = a , 则有 lim Bn = a.单调收敛定理 单调有界数列必收敛。[是实数系的重要论断之一，重要应用有证实极限 lim(1+1/n)^n 的存在性]柯西收敛准则 设｛Xn｝是一个数列，如果任意ε>0, 存在N∈Z*, 只要 n 满意 n > N ,则对任意正整数p,
sirima mbt andorra,都有 |X(n+p) - Xn | < ε . 这样的数列｛Xn｝称为柯西数列， 这种渐进稳固性与收敛性是等价的。即互为充分必要前提。函数极限专业定义: 设函数f(x)在点x。 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它如许小），总存在正数 δ ，使得当x满足不等式0<|x-x,
4人因攻击政府网站从事黑客活动被判刑。|<δ 时，对应的函数值f(x)都知足不等式： |f(x)-A|<ε 那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。 “严格来说，没有数学证明这种货色，分析到最后，除了指指导点，我们什么也不会干；…...证明就是我 和李托伍德叫做神吹的那套玩意儿，是编出来感动人心的甜言蜜语，是上课够在黑板上的丹青，是激发学生设想力 的伎俩。”-哈代。 数学太重要了，在中国与语文学有着同样的位置。其起因就在于数学本身就是一种语言，而且是一种世界语言 ，存在广泛性。所以，严格的辨别数学概念的词性，是十分有必要的，不仅是数学本身的请求，也是语言科学的要 求。 谈到语言和词性，就要了解部门语文基础常识了。 1、名词：表示人或事物、地方、方位等名称的词。 2、动词：表示动作行动、发展变化、心理运动等意义的词。 微积分从出生的第一天开端，就没有分开过抵触和驳论。例如，贝克莱驳论（无穷小驳论）、芝诺悖论等。如 果，透过这些争辩，可以发明实在他们不外是变相的探讨最终形态的问题！正如莱布尼兹关注微粒终极运气一样。 当初，有一些人说：柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，有“极限回避”的现象。这种说法是片面的也是不客观的，但还是指出了一些问题（应 当说最终形态回避）。 柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，被翻译成中国语言的时候，是无比经典的。柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，不单纯的定义了极限，还描绘了一种运动现象-向极限（最终形态）凑近的运动。最后一语道破，把最终形态a（如果存在，就是说不清怎么来的） 叫做极限。 从语法的分析上看，这个说法本质上给了“最终形态”一个称呼（名字）--极限。所以，柯西-威尔斯特拉斯的极限定义中，极限是一个名词，而不是动词。 于是，就把向极限靠近的运动叫做极限现象。很多人在懂得柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，混杂了极限现象与极限，抽象的把“极限现象”和“极限”都叫做极限。 对于最终状态的研究，我曾在《微积分初等化的寻思》中简略的谈过。既然现代函数极限定义并没有说明最终 形态（躲避了）！那么，函数的极限定义是要说些什么故事呢？有关的数学证明又在证明什么呢？ 其实，是在说一件事：有极限（最终形态），必有极限现象；反过来，有极限现象，必有极限存在！简单来说 ，就是极限现象是极限（最终形态）的充要条件,
wholesale shoes uk 售楼女经理开价2万元雇凶砍业主被判刑。所以，要证明极限存在（不用去研究怎么来的）,
mbt shoes store london，只要证明极限现象存在就够了，确切有脚踏两船的嫌疑！ 就因为如此，所以现代极限的定义不能告知你极限怎么来的，只能告诉你极限存在（并且可以证明）。极限现 象就本质来看是一种运动现象，描述活动景象的幻想工具是什么-函数。所以现代的函数（专业）极限定义，有些函数的滋味（逐一对应，总有ε和δ对应）也就不起 怪了。 现在，有一些人也挺离谱的，把极限说成是动词。理由是，极限的本质是：“一个变更的量无限亲近一个固定 的量”。这是极限现象的精华，不是极限的。 可是，要描述极限现象。非要柯西-威尔斯特拉斯绕口的模型吗！当然不是，模型是可以改变的，微积分初等化，就改变了这一模型。使一些庞杂的数 学证明得到了简化，好比极限的唯一性、函数枯燥性等。 艰深定义： 1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时，函数f(x)无限靠近一个确定的常 数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∞。 2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个 确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。函数的左右极限 1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x )无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a. 2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说 a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a. 注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限 一个函数是否在x(0)处存在极限，与它在x=x(0)处是否有定义无关，只有求y=f(x)在x(0 )邻近有定义即可。两个主要极限 1、x→0，sin(x)／x →1 2、x→0，（1 + x）^（1／x）→e x→∞ ，（1 + 1／x）^（1/x） → 1 （其中e≈2.7182818... 是一个无理数）函数极限的运算规律 设lim f(x) ，lim g(x)存在，且令lim f(x) =A, lim g(x)=B，则有以下运算法则，线性运算 加减： lim ( f(x) ± g(x) )= A ± B 数乘： lim( c* f(x)）= c * A （其中c是一个常数）非线性运算 乘除： lim( f(x) * g(x))= A * B lim( f(x) / g(x)) = A / B ( 其中B≠0 ) 幂： lim( f(x) ) ^n = A ^ n ================================================ ========================其他 一、0.999999……＝1？ （以下一段不作证明，只助理解――原因：小数的加法的第一步就是对齐数位，即要知道详细哪一位加哪一位 才可操作，下文中0.33333……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保障以上尺度,
mbt lofa china，所以对于无限小数并不能做加法。既然不可做加法，就无乘法可言了。） 谁都知道1/3＝0.333333……，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是 一个“有限”的数，右边是“无限”的数。 10×0.999999…… ―1×0.999999……=9=9×0.999999…… ∴0.999999……=1 二、“无理数”算是什么数？ 咱们晓得，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停盘算之后才 干确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违反人们的思维习惯。 联合上面的一些难题，人们急切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就发生了数列极 限的思想。 相似的本源还在物理中（实际上，从迷信发展的过程来看，哲学才是真正的发展能源，但物理起到了无比推进 作用），比方瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是 某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0÷0,
mbt nama black sport health shoe，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意思颇为直观，就是该点切线斜率）？这也迫使人们去为此 开发出合乎感性的解释，极限的思想应运而生。 真正现代意义上的极限定义，一般以为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学老师，这对我们今天 中学先生界而言，不能不说是象征深长的。 三、刘徽的"割圆术" ,设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情形下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正 六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如斯将边数 加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1 <A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416 词条图册更多图册 3.徐佳莹专辑
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专辑信息专辑介绍专辑曲目歌词 专辑信息 专辑中文名: 极限
歌手: 徐佳莹 音乐作风: 风行 发行时间: 2010年09月02日 地域: 台湾 语言: 一般话专辑介绍 就这样狂喜、狂悲、狂爱著， 我看见自己站在临界点，注视天空的每一种表情， 哪怕下一步就要崩塌， 我依然仰望！ 徐佳莹 第2张创作专辑 [极限] 词曲x创作x 制造x合声 徐佳莹 林�哲x 陈建骐x 范晓萱x吴青�x 葛大为x魏如萱 结合打造 这个唱著身骑白马的女孩，阅历了挫败，领会了成长， 也落泪、也扫兴、也孤独、也渴望， 谁又不是这样子走过来，一关又一关… 设立停损点，挑衅极限，看见更好更英勇的自己！ 10领袖悟性命的淬炼之作 徐佳莹 第2张创作专辑 [极限]专辑曲目 01. 去我家 02. 极限 03. 惧高症 04. 香水 05. Love 06. 绿洲 07. 残爱 08. 乐园 09. 时间巨匠 10. 迪斯可歌词 对占星执迷 需要空泛的激励 才认清自己 逞强毕竟 只是回避 放弃止痛剂 跟记忆 迎面交加 我仍然保持 回到家才呜咽 我的极限 就到这里就算永远 不能痊愈 太惧怕宁静所以习惯 喃喃自语 你的极限 也在这里别逾越 我失序的心 如果我是你会更残暴离去 副作用不明 但意志 还算苏醒 我真的庆幸 未曾自我否认 我的极限 就到这里早该制止 继承沉溺 在崩溃前夕我会承认 我已失去 你的极限 也在这里收回 最后一次感性 如果我是你不会挥霍同情 我的极限 就到这里早该禁止 持续沉沦 在瓦解前夕我要否认 我已失去 你的极限 也在这里收回 最后一次理性 如果我是你我会同情自己 词条图册更多图册 编纂本表 收起 开展 更多 “极限”在汉英词典中的解释(起源：百度词典)： 1.the limit; the utmost; the maximum; the end; the terminal; the ultimate; an extremity of 2.[Mathematics] the limit 我来完善 “极限”相干词条：
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